Materia³ przedstawiony w
ksi±¿ce Gilberta i Nicholsona mo¿e byæ podstaw± wyk³adu z algebry abstrakcyjnej i
jej zastosowañ.
Przedstawiono
zagadnienia dotycz±ce algebry Boole’a, maszyn skoñczonych, kwadratów ³aciñskich
oraz wiele pojêæ algebry abstrakcyjnej o fundamentalnym znaczeniu, jak: grupy,
permutacje, grupy symetrii, pier¶cienie wielomianów, cia³a Galois, metody zliczania,
konstrukcje geometryczne; omówiono tak¿e kody korekcyjne BCH. Zalet± tego podrêcznika
jest odpowiedni dobór przyk³adów i ich urozmaicenie, a tak¿e ponad 600 zadañ (o
zró¿nicowanym stopniu trudno¶ci) do samodzielnego rozwi±zania.
Ksi±¿ka jest przeznaczona
dla studentów informatyki i matematyki studiów uniwersyteckich i politechnicznych.
Spis tre¶ci:
Wstêp do I wydania
Wstêp do II wydania
Skorowidz symboli
1. Wprowadzenie
Algebra klasyczna
Algebra wspó³czesna
Operacje binarne
Struktury algebraiczne
Rozszerzanie struktur liczbowych
2. Algebry Boole’a
Algebra zbiorów
Liczba elementów zbioru
Algebry Boole’a
Logika zdaniowa
Obwody prze³±cznikowe
Dzielniki
Zbiory uporz±dkowane i kraty
Postaæ normalna i upraszczanie obwodów
Bramki tranzystorowe
Twierdzenie o reprezentacji
Æwiczenia
3. Grupy
Grupy i symetrie
Podgrupy
Grupy cykliczne i dihedralne
Morfizmy
Grupy permutacji
Permutacje parzyste i nieparzyste
Twierdzenie Cayleya o reprezentacji
Æwiczenia
4. Grupy ilorazowe
Relacje równowa¿no¶ci
Warstwy i twierdzenie Lagrange’a
Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
Twierdzenie o morfizmie
Iloczyny proste
Grupy niskiego rzêdu
Dzia³anie grupy na zbiorze
Æwiczenia
5. Grupy symetrii w trzech wymiarach
Przesuniêcia i grupa euklidesowa
Grupy macierzy
Grupy skoñczone w dwóch wymiarach
Obroty w³a¶ciwe bry³ foremnych
Skoñczone grupy obrotów w trzech wymiarach
Grupy krystalograficzne
Æwiczenia
6. Metoda Polyi-Burnside’a
zliczania orbit
Twierdzenie Burnside’a
Problem naszyjnika
Kolorowanie wielo¶cianów
Zliczanie obwodów
Æwiczenia
7. Monoidy i automaty
Monoidy i pó³grupy
Automaty skoñczone
Monoidy ilorazowe i monoid automatu
Æwiczenia
8. Pier¶cienie i cia³a
Pier¶cienie
Dziedziny ca³kowito¶ci i cia³a
Podpier¶cienie i morfizmy pier¶cieni
Konstrukcja pier¶cieni
Cia³a u³amków
Cia³o u³amków pier¶cienia Mikusiñskiego
Æwiczenia
9. Pier¶cienie wielomianów i
pier¶cienie euklidesowe
Pier¶cienie euklidesowe
Algorytm Euklidesa
Jednoznaczno¶æ rozk³adu
Rozk³ad wielomianów o wspó³czynnikach rzeczywistych lub zespolonych
Rozk³ad wielomianów o wspó³czynnikach wymiernych lub ca³kowitych
Rozk³ad wielomianów nad cia³em skoñczonym
Kongruencje liniowe i chiñskie twierdzenie o resztach
Æwiczenia
10. Pier¶cienie ilorazowe
Idea³y i pier¶cienie ilorazowe
Obliczenia w pier¶cieniach ilorazowych
Twierdzenie o morfizmie
Ilorazowe pier¶cienie wielomianów, bêd±ce cia³ami
Æwiczenia
11. Rozszerzenia cia³
Rozszerzenia cia³
Liczby algebraiczne
Cia³a Galois
Elementy pierwotne
Æwiczenia
12. Kwadraty ³aciñskie
Kwadraty ³aciñskie
Ortogonalne kwadraty ³aciñskie
Geometrie skoñczone
Kwadraty magiczne
Æwiczenia
13. Konstrukcje geometryczne
Liczby konstruowalne
Podwojenie sze¶cianu
Trysekcja k±ta
Kwadratura ko³a
Konstrukcje wielok±tów foremnych
Niekonstruowalna liczba stopnia 4
Æwiczenia
14. Kody samokorekcyjne
Problem kodowania
Proste kody
Reprezentacja wielomianowa
Reprezentacja macierzowa
Korekcja b³êdów i dekodowanie
Kody BCH
Æwiczenia
Dodatek 1. Dowody
Dodatek 2. Liczby ca³kowite
Bibliografia
Odpowiedzi do æwiczeñ o nieparzystych numerach
Skorowidz
368 stron, B5, oprawa miêkka
